“Situar el punto de partida en la actividad del niño me parece indispensable y aprovechar su experiencia, cada vez más rica, asegura a las matemáticas así enseñadas un sistema de referencias con el cual no será necesario, a cada momento, intentar establecer relaciones”. (Gaston Mialaret).1
A ese alumno o alumna que nos viene a la escuela (actualmente con tres años) contento porque sabe contar hasta diez o hasta quince, no le podemos decir que ese saber no sirve de nada porque seguramente lo vamos a desorientar. Pero sí que debemos ponernos inmediatamente manos a la obra para evitar que este conocimiento puramente verbal sea el componente fundamental de su aprendizaje escolar. ¿Qué sentido tiene que los pequeños aprendan a contar hasta diez, veinte, cuarenta, cien, si cuando los pones a contar objetos reales (lápices, folios, compañeros...) son incapaces de dar el contenido correcto a los números? El niño o niña pequeño que llega por primera vez a la escuela no suele saber (excepto en casos excepcionales) que el uno quiere decir una cosa, el dos, dos cosas; el cuatro, cuatro cosas; el diez, diez cosas. Vienen con un conocimiento verbal que la familia les ha transmitido de forma tan entusiasta como equivocada. Sin embargo, la escuela, en muchos casos, cae en los mismos errores que la familia, y convierte en pura mecánica verbal y memorística lo que debería ser comprensión y reflexión inteligente. Analicemos algunos casos de los que hemos sido protagonistas directos.
Un padre nos enseña orgulloso las cuentas que hace su hijo en la clase de primer curso. Observamos la libreta y se trata de unas cuantas sumas "quilométricas" en las que el niño ha efectuado sumas "sin llevar", de cifras que forman parte de dos cantidades imposibles de comprender por él. He aquí dos de ellas:
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3746 |
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52986 |
+ |
4231 |
+ |
07013 |
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7977 |
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59999 |
Cuando le preguntamos al niño el resultado de las sumas, su respuesta es la siguiente: siete, siete, nueve, siete; cinco, nueve, nueve, nueve, nueve. Ni siquiera ha acertado a leer empezando por el mismo lado.
Una niña de tercer curso nos recita la tabla del cinco: cinco por cero, cero, cinco por una, cinco, cinco por dos, diez, cinco por tres, quince, cinco por cuatro, veinte... y así sucesivamente hasta el cinco por nueve. Pero cuando se nos ocurre preguntarle la tabla "salteándola", es decir, sin orden, comprobamos que no la sabe, o bien tiene que empezar desde el principio hasta llegar a la que le hemos pedido. Y lo mismo sucede si aplicamos la propiedad conmutativa: ¿Nueve por cinco?
-Es que la del nueve no me la sé -responde la alumna.
Los defensores del aprendizaje memorístico y del “machaca, machaca, machaca” suelen poner como ejemplo que las tablas es uno de los aprendizajes que hay que realizar de memoria. Pero una cosa es guardar en la memoria las tablas de multiplicar y otra muy distinta, la retención mecánica y puramente memorística de las mismas.
La ejercitación mecánica no es inteligente, por eso el niño o niña que retiene mecánicamente es incapaz de razonar ante cualquier dificultad y se bloquea. Las tablas de multiplicar, como cualquier otro aprendizaje, debe estar basado en la inteligencia, en el razonamiento, en la reflexión y en el descubrimiento de las soluciones por parte del propio niño y niña. Y siguiendo este camino, irá reteniendo en la memoria las tablas y llegará a tenerlas totalmente memorizadas, pero siempre será capaz de construirlas siguiendo un razonamiento de lógica matemática (utilizando tablas pitagóricas, ejercicios de descomposición, etc.).
¿Y la resta? ¿Acaso no nos encontramos ante una de las operaciones más difíciles de entender por parte de los alumnos y peor explicada por parte de los profesores? Para empezar, la realización simbólica de la resta exige del niño un esfuerzo de abstracción mucho más complicado que el de la suma. En esta, las cantidades que aparecen se encuentran contenidas en la cantidad final; no existe ninguna complicación para pasar de la manipulación a la representación simbólica. Sin embargo, en la resta, el procedimiento manipulador es muy diferente del simbólico. Si tenemos ocho bolas y cogemos cinco, nos quedan tres; mientras que si escribimos ocho en la pizarra y le queremos restar cinco, tenemos que ponerlo también en la pizarra, es decir, existe un paso intermedio entre el planteamiento y la resolución de la operación, que no se da cuando la realizamos manipulando los objetos. Y qué decir de la resta "llevando"; aquí la dificultad se multiplica y el peligro de memorizar mecánicamente ciertos mecanismos de resolución es evidente, hasta el punto de encontrar alumnos y alumnas en el ciclo superior de primaria e incluso de ESO, que saben realizar las operaciones pero no tienen ni idea del porqué de dichos mecanismos.
Nos encontramos ante un manual de matemáticas de segundo curso de educación primaria, de una editorial conocida. Un niño, que tiene ambas manos sobre dos cajas que recuerdan a las de las galletas o los cereales, pregunta:
-¿Cuántos troncos hay en total?
En ambas cajas hay dibujado un tronco y dos cantidades diferentes, 32 y 40. Es decir, que según el dibujo, en una caja hay 32 troncos para la estufa (que también está dibujada con algunos troncos quemándose) y en la otra hay 40. Se trata, evidentemente, de sumar todos los troncos.
Pero, vamos a ver, ¿a quién se le puede ocurrir que los troncos para la estufa se venden en cajas, como si del producto de un supermercado se tratase? Y lo que es mucho más grave, existe una desproporción evidente entre el tamaño real de un tronco de leña y lo que aparece en el dibujo del manual mencionado. ¿Se pueden captar correctamente los conceptos de medida, proporcionalidad, cantidad (todos ellos conceptos matemáticos) cuando las personas que hacen los libros de texto sobre matemáticas demuestran ya una ignorancia absoluta acerca de las necesidades que tienen el niño y la niña de partir de la realidad (sin ficciones ni engaños) para entender dichos conceptos?
Si hiciésemos un análisis sobre los manuales y las libretas de cálculo y matemáticas de la educación infantil y primaria, comprobaríamos la gran cantidad de "errores matemáticos" que contienen. Y todo ello porque lo que se busca, por encima de todo, no es que los alumnos y alumnas aprendan correctamente, sino que el material sea atractivo para ellos y para el maestro; o sea, que se venda bien.
No nos cansaremos de repetir lo fundamental que es utilizar datos reales para que el aprendizaje de las matemáticas sea correcto. Este partir de la realidad (que es fundamental para cualquier situación de aprendizaje, no solamente para las matemáticas) colocará siempre a los niños y niñas ante problemas cuya resolución les aportará experiencia y conocimiento sobre su entorno, facilitándoles su correcta interpretación. Por el contrario, la mayoría de los manuales utilizan datos y situaciones ficticias que normalmente están alejadas de la realidad, lo cual es negativo para el aprendizaje. Y, en cuanto a las libretas de problemas y operaciones, sucede exactamente lo mismo. No decimos que no se puedan utilizar ciertos ejercicios que sirvan para afirmar los mecanismos de resolución de las operaciones, pero se debe hacer con una gran prudencia en cuanto a su cantidad y facilitando en todo momento la autonomía de los alumnos y el descubrimiento de nuevas vías de resolución.
Por tanto, el objetivo fundamental de una pedagogía activa, consistirá en partir de los datos y situaciones reales que nos permitan prescindir de los clásicos manuales y que nos ayuden a confeccionar problemas reales y motivadores para ellos y ellas. Porque el cálculo y las matemáticas se deben enfocar, fundamentalmente, hacia la resolución de problemas y no hacia la adquisición de mecanismos operacionales. Resolviendo problemas adquiriremos los mecanismos, mientras que si planteamos en primer lugar la adquisición de mecanismos, será muy difícil que aprendan a resolver problemas. La resolución de problemas es, además, algo divertido, un reto interesante y motivador para los alumnos. El aprendizaje del mecanismo es aburrido, difícil y sin sentido. Por eso cuesta tanto adquirirlo y dominarlo. Se trata del mismo planteamiento de siempre: o se memoriza mecánicamente o por el contrario, se aprende utilizando la inteligencia y la capacidad de razonamiento y reflexión de la persona.
Para conseguir un aprendizaje inteligente y real del cálculo y las matemáticas, lo mejor que podemos hacer es aprovechar lo que tenemos más a mano; y lo que tenemos más a mano son los propios alumnos y alumnas, la clase, la escuela, el material escolar, el mobiliario, el pueblo, el barrio, las tiendas, el supermercado, los desplazamientos fuera y dentro de la escuela, el tamaño de las cosas, el lugar que ocupan, su volumen, etc. Basta con echar una ojeada desde el punto de vista matemático a toda esta lista de recursos, para que empiecen a surgir de forma imparable, multitud de posibilidades.
A modo de ejemplo exponemos los datos que nos proporcionaron a nosotros los propios alumnos y alumnas: fecha de nacimiento, partes del cuerpo (extremidades, dedos, órganos, etc.) calzado, vestidos, registro periódico del peso y la altura, de las posibilidades físicas individuales (carreras, saltos, lanzamientos), las faltas de asistencia, la distribución de actividades a lo largo del día, etc. Con todos estos datos, unidos a los que nos proporcionaban otras actividades de clase, confeccionábamos problemas que los alumnos y alumnas resolvían después, tanto individual como colectivamente.
Aparte de la realidad, del entorno vital de los alumnos y alumnas de la clase, hay otras fuentes que nos pueden proporcionar gran cantidad de datos matemáticos. Son actividades-juego que permiten trabajar todos aquellos aspectos que la realidad no puede facilitarnos. Organizar un mercadillo, por ejemplo, puede ser muy efectivo, ya que permite una vivencia simbólica comprador-vendedor, muy efectiva para que los alumnos y alumnas se pongan en la situación psicológica adecuada (insistimos, no obstante, en la importancia de marcar los productos de compra-venta con los precios reales de cualquier tienda o supermercado).
Por otra parte, existen muchas publicaciones con una gran variedad de problemas de lógica matemática y de ingenio, que son muy divertidos y tremendamente interesantes para desarrollar la capacidad creativa y razonadora de niños y niñas. Algunas son publicaciones especializadas, pero problemas de este tipo aparecen diariamente en las páginas de pasatiempos de cada periódico; sólo hace falta recortarlos y hacer con ellos una serie de fichas o cuadernillos de trabajo para que los realicen los alumnos y alumnas.
“Los juegos de grupo son situaciones ideales para el intercambio de opiniones entre los niños. En los juegos de grupo los niños se encuentran motivados para comprobar las cuentas y el cálculo de los otros, para ser capaces de enfrentarse con los que hacen trampas o se equivocan. Corregir y ser corregido por los compañeros es mucho mejor que lo que pueda aprender con las fichas de trabajo.
Cuando los niños rellenan las fichas de trabajo, hacen sólo su trabajo y no comprueban el pensamiento de los otros. Además, cuando terminan la ficha recurren al maestro para que éste juzgue la corrección de cada respuesta. Esta dependencia de la autoridad adulta resulta negativa para el desarrollo tanto de la autonomía como de la lógica del niño.
En los juegos de grupo los niños son mucho más activos y críticos mentalmente, y aprenden a depender de ellos mismos para saber si su razonamiento es correcto o no”. 2
El acercamiento al cálculo y las matemáticas por parte de nuestros alumnos fue bastante “natural” desde el primer momento. Nuestro objetivo principal era que los cálculos a realizar respondiesen siempre a problemas reales que permitiesen además la manipulación de las operaciones. Había que hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con las manos, antes de convertirlas en representaciones abstractas en el papel o la pizarra.
Reparto y recogida de material (lápices, gomas, folios, colores, rotuladores, cartulinas, tubos de pegamento, tijeras, pinturas...); votaciones para elegir un texto, un dibujo, un tema para trabajar; contar las palabras de una frase, las letras, las vocales, las consonantes, las frases de un texto, el material de clase; registro de asistencia, del tiempo, cambio de fecha diario, estadísticas del tiempo a final de cada mes (días de sol, lluvia, viento, nieve...) y de las faltas de cada alumno, etc.
No obstante, la actividad que nos ofreció más posibilidades matemáticas fue el mercadillo, por su duración (desde párvulos de cinco años hasta cuarto de EGB) y porque su aprovechamiento se fue haciendo cada vez mayor a medida que los cursos iban avanzando.
En párvulos cinco años y primer curso, el montaje del mercadillo era bastante sencillo y no necesitaba demasiado tiempo para su realización. Había 33 alumnos en clase, distribuidos en tres grupos de ocho y uno de nueve.
El dinero eran unos trocitos de cartulina cortados con guillotina, de diferentes colores y valores. El mercadillo tenía lugar los martes por la tarde. De 15:00 a 15:45 horas aproximadamente, dos de los cuatro equipo se dedicaban a fabricar todo tipo de mercancías con plastilina y un tercer grupo confeccionaba los monederos poniendo los billetes dentro de unas bolsitas de plástico (en primero: quince de una peseta, diez de dos, tres de cinco, dos de diez, uno de veinticinco y otro de cincuenta). El cuarto grupo jugaba a la oca, el parchís, las damas o realizaba trabajos encargados por el maestro. El grupo de los monederos ayudaba a construir figuras de plastilina a medida que iban acabando.
De 15:45 a 16:15, los vendedores se colocaban cada uno en su tienda (eran las propias mesas repartidas por la clase) y vendían lo que habían fabricado sus compañeros. Había también una tienda de pitufos, que eran de la clase. Los demás, cada uno con su monedero, iban comprando por las diferentes tiendas hasta que se acababa el género o el dinero.
Lo que se compraba de plastilina lo iban depositando en unas cajas y los que agotaban el dinero iban allí y hacían bolitas para poder trabajarlas en el próximo mercadillo. Cuando se acababa todo el género, los que tenían aún dinero, lo dejaban en una caja para guardarlo. A continuación, se sentaban todos en las mesas haciendo tantos grupos como tiendas y, junto al tendero, clasificaban los billetes según el valor. Más tarde se repartían unas fichas para cada tienda (una por cada alumno) para sumar las ganancias de cada una. En caso de que los alumnos de un grupo no fuesen capaces de realizar el cálculo, lo hacíamos entre todos. Las operaciones se realizaban mentalmente y se anotaban en la ficha. Después se iban repasando todas las fichas, una por una, en un ejercicio colectivo.
En segundo curso el mercadillo experimentó un cambio importante ya que se pasó a utilizar moneda real y eso acrecentó el interés de los alumnos y su rendimiento matemático. Las tiendas se diversificaron y los precios de los productos se acercaron bastante a los reales. Las tiendas que funcionaron fueron: la de cuadros (dibujos de los alumnos), figuras de plastilina, refrescos (coca-cola, limonada, naranjada, aunque se trataba siempre de agua), cuerda o alambre (que era siempre hilo de bramante), garbanzos, lentejas, arroz, judías y alguna otra ocasional.
Los precios de los cuadros y las figuras eran libres (con algún límite corrector) y los demás productos tenían el mismo que en la tienda de verdad.
Se hacía también los martes, pero cada quince días. La última hora de la mañana comenzaban los preparativos con la confección de un cuadro por cada niño. Según iban acabando, se dedicaban a construir figuras con la plastilina, al tiempo que otros (en un turno preestablecido) confeccionaban los monederos (diez monedas de una peseta, cuatro de dos, tres de cinco, dos de diez, una de veinticinco, una de cincuenta y otra de cien).
Por la mañana quedaba también preparado el espacio para que por la tarde se pudiera empezar nada más entrar a la clase (desde segundo curso se utilizaba el aula propia y la de plástica, que estaba al lado).
De los cuatro grupos, uno hacía de vendedores y los otros de compradores (también por turno). Cada tendero disponía, además del género para la venta, de una cajita para el dinero y de una balanza para pesar, de un metro para medir o de medidas de capacidad, en los casos necesarios.
A las 16:00 aproximadamente, se acababa el mercadillo y empezaba la confección de fichas. A medida que iban acabando las fichas de cada tienda, anotaban los resultados en la pizarra para repasarlos después entre todos y así poder confeccionar la ficha de ganancias de todas las tiendas.
Los niños y niñas solían emparejarse para hacer la compra; algunos, incluso, representaban el papel de madre e hija en un juego más real que simbólico. En más de una ocasión utilizaron recursos para conseguir algún producto más barato, como sucedió con Noelia en la tienda de figuras de plastilina: ¿Qué vale esta tonterieta de nada?
La actividad se prolongó hasta cuarto nivel y las fichas de aprovechamiento se fueron diversificando de forma que en cada nuevo curso proponíamos algunas nuevas.
Hay unos anexos al final que corresponden a las fichas que fuimos realizando en los diferentes cursos. La próxima adaptación del euro como moneda para todos los países de la Unión Europea, puede hacer útil una actividad de compra-venta como el mercadillo, para que los alumnos y alumnas se acostumbren a su utilización.
Con los datos de las fichas del mercadillo, con los de las pruebas y controles físicos y con otras actividades de clase, fuimos confeccionando unas series de problemas autocorrectivos que los alumnos y alumnas iban resolviendo a lo largo del curso. Para solucionarlos debían consultar diversas fichas informativas de las que extraían los datos necesarios y, finalmente, se autocorregían en otras fichas que estaban en poder del maestro.
Dado que en la experiencia que presentamos pudimos seguir como tutor de los mismos alumnos durante toda la escolaridad, fuimos aprovechando datos, actividades y material de unos cursos para otros y ello nos permitió ofrecer gran cantidad de actividades matemáticas a nuestros alumnos con datos reales obtenidos de nuestra propia actividad de clase.
Cada serie constaba de cinco problemas y con unas cuantas series se confeccionaba una libreta que los niños y niñas iban trabajando en clase. Había que ir cumpliendo unos plazos mínimos y los alumnos más rápidos podían hacer nuevas libretas que el maestro iba construyendo. Ellos también podían proponer problemas partiendo de los datos que íbamos recopilando.
Dentro de la actividad, existía un apartado que era de problemas de ingenio.
A modo de ejemplo, he aquí algunas de las series de problemas que se realizaron:
1- Los huevos de las gallinas tienen la yema blanca.
Los huevos de las gallinas tienen las yemas blancas.
¿Cuál de las dos frases es la correcta?
2- Si en un árbol hay quince pájaros y un cazador dispara y mata la tercera parte, ¿cuántos pájaros quedan en el árbol?
3- Agrupa estos números en cuatro parejas, de forma que la suma de todas ellas sea la misma.
4- ¿Cuántos nueves hay desde el cero hasta el cien?
5- Luis fue a la estación a esperar al cuñado del único hermano de su madre. ¿A quién recibiría Luis en la estación?
1-Si Pedro pesase el doble, pesaría lo mismo que...
2- ¿Cuánto pesa la libreta de conferencias?
3- ¿Cuántos Kg. le saca el maestro a Albert?
4- Cuánto pesan entre todas las niñas de la clase?
5- Escribe tu peso en números romanos.
1-Mide la altura de tu mesa.
2- Mide el largo y ancho de la pizarra.
3- ¿Cuántos centímetros le saca el maestro al alumno más alto de la clase?
4- ¿Cuánto miden entre todos los niños y niñas cuyo nombre empieza por A.?
5- Mide el largo, ancho y alto de tu cajoncito.
1-Calcula el valor de 5 Kg. de judías.
2- ¿Cuántas monedas de 5 pts. hay en las 3718 pts. que ganó Albert?
3- ¿Cuántas monedas de 25 pts. hay en lo que ganó Mónica?
4- ¿Cuánto han ganado entre todos los tenderos?
5- ¿Cuánto más ha ganado Mónica que Iván?
Otros temas que nos sirvieron para crear problemas autocorrectivos fueron:
Ni qué decir tiene que los niños y niñas disfrutaban con la resolución de este tipo de cuestiones, dado que se trataba de conocer aspectos relacionados con ellos mismos o de poner a prueba su capacidad de razonamiento (lógico-matemático) con problemas que también pretendían ser divertidos. Y no es menos importante que a través de estas actividades conseguimos hacer un seguimiento bastante completo de la evolución física de los alumnos y del clima de Torres de Segre, con lo cual, nuestro trabajo resultó ser también, científico.